Cuando un grupo es finito?

¿Cuando un grupo es finito?

En matemáticas y álgebra abstracta, un grupo finito es un grupo cuyo conjunto fundamental G tiene un número de elementos finito.

¿Cómo demostrar que un grupo es normal?

Un subgrupo H de un grupo G es normal en G se gH=Hg g H = H g para todo g∈G. Es decir, un subgrupo normal de un grupo G es un subgrupo para el que las clases laterales derechas e izquierdas coinciden.

¿Cuál es el orden de un grupo?

El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir, el número de elementos que tiene. El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el entero positivo m más pequeño tal que am = e (donde e denota el elemento identidad, también llamado neutro, del grupo, y am denota el producto de m copias de a).

¿Cómo saber si un grupo es ciclico?

En teoría de grupos, un grupo cíclico es aquel que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado «generador» de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a.

¿Cómo saber si un grupo es abeliano?

Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = , x = a m y y = a n para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = a ma n = a m + n = a n + m = a na m = yx. En particular, el grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Z n.

¿Cómo demostrar homomorfismos de grupos?

Sea G un grupo con la operación ∗ , y G ′ un grupo con la operación ∘ . Sea f : G → G ′ una aplicación. Se dice que f es un homomorfismo entre los grupos ( G , ∗ ) y ( G ′ , ∘ ) si y sólo si se verifica: f ( x ∗ y ) = f ( x ) ∘ f ( y ) ∀ x , y ∈ G .

¿Cómo obtener el orden de un grupo cociente?

El orden de G/N es por definición igual a [G:N], el índice de N en G. Si G es finito, este índice es igual a |G|/|N|; es posible, sin embargo, G/N puede ser finito, aunque G y N sean ambos infinitos (ejemplo: Z/2Z).

¿Qué es una orden y cuáles son sus elementos?

Qué es Orden: Orden es una secuencia en la cual son colocadas cosas, ideas o personas en un espacio o tiempo determinado, como, por ejemplo, el orden alfabético. Una orden también puede significar un mandato o solicitud impositiva de alguna cosa.

¿Qué es orden y estructura?

La estructura (del latín structūra) es la disposición y orden de las partes dentro de un todo. Los elementos estructurales son permanentes y básicos, no son sujetos a consideraciones circunstanciales ni coyunturales, sino que son la esencia y la razón de ser del mismo sistema.

¿Qué es un grupo cíclico?

Concepto: Un grupo es cíclico cuando existe un elemento que lo genera. Por ejemplo, el grupo cíclico de orden 3, Z3, está generado por a. Un grupo es cíclico cuando existe uno de sus elementos que genera a todos los otros.

¿Cuando un grupo es isomorfo?

un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es simultáneamente inyectivo y sobreyectivo, o lo que es lo mismo, biyectivo.

¿Qué es un grupo y un grupo abeliano?

En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. -Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.

¿Cómo saber si un grupo es cíclico?

Si n < ∞, entonces gn = e, puesto que n mód n = 0. Si n = ∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y -1 en Z, y sus imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos infinitos. Todo subgrupo de G es cíclico.

¿Qué es un subgrupo cíclico?

Todo subgrupo de G es cíclico. De hecho, para n finito, todo subgrupo de G es isomorfo a un Zm, donde m es divisor de n; y si n es infinito, todo subgrupo de G corresponderá a un subgrupo mZ de Z (el cual es también isomorfo a Z ), bajo el isomorfismo entre G y Z. Los generadores de Zn son los enteros que son primos relativos con n.

¿Cómo se clasifican los grupos cíclicos?

Por lo anterior, los grupos cíclicos son de algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados. Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan simplemente por el grupo «canónico» al que son isomorfos: si el grupo es de orden n, para n entero, dicho grupo es el grupo Zn de enteros { 0., n -1 } bajo la adición módulo n.

¿Cuáles son los subgrupos y grupos cocientes de un grupo cíclico?

Todos los subgrupos y grupos cocientes de un grupo cíclico son, a su vez, cíclicos. En particular, los subgrupos de Z son de la forma mZ donde m ≥ 0 es un número entero.